2.3 확률의 계산

HOOK

한 사건의 확률에서 더 복잡한 확률로

From single events to combined ones — three operations to know.

2.2에서 우리는 한 사건의 확률 $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$를 정의했습니다. 그런데 실제 문제에서는 — "$A$가 일어나지 않을 확률은?", "$A$ 또는 $B$가 일어날 확률은?", "$A$ 그리고 $B$가 일어날 확률은?" — 더 복잡한 질문들이 등장합니다.

다행히도 이런 복합 확률은 단순한 사건의 확률에서 세 가지 공식으로 모두 계산할 수 있습니다.

① 여사건의 확률: $P(A^c) = 1 - P(A)$ — "$A$가 일어나지 않을 확률".
② 합사건의 확률(배반): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ — "$A$ 또는 $B$".
③ 곱사건의 확률(독립): $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ — "$A$ 그리고 $B$".

사건 $A, B$ 사이의 관계 — 여사건·합·곱

THREE FORMULAS

확률 계산의 3가지 공식

Each formula answers a different question.

01 COMPLEMENT · 여사건

"일어나지 않을" 확률

사건 $A$가 일어나지 않는 사건을 여사건이라 하고 $A^c$로 표기합니다. 한 사건은 일어나거나 일어나지 않거나 둘 중 하나이므로 — $P(A) + P(A^c) = 1$. 이를 정리하면:

$P(A^c) = 1 - P(A)$
"A가 일어나지 않을" 확률

언제 쓰나: "적어도 하나" / "~이 아닐 확률" 같이 직접 세기 어려운 경우 — 여사건이 더 간단한 경우.

예시: 주사위 한 개에서 짝수가 아닐 확률 → $P(\text{짝수}^c) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.

02 UNION · 합사건 (배반)

"$A$ 또는 $B$" 확률 (배반사건)

두 사건 $A, B$가 동시에 일어날 수 없을 때(서로 겹치지 않을 때, 즉 배반사건), 둘 중 하나가 일어날 확률은 두 확률의 합입니다.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
(단, $A \cap B = \varnothing$일 때)

조건: $A$와 $B$가 동시에 일어날 수 없음 (배반사건, mutually exclusive). $A \cap B = \varnothing$.

예시: 주사위 한 개에서 $2$ 또는 $5$가 나올 확률 → 두 사건은 동시에 불가 → $P(2) + P(5) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$.

03 INTERSECTION · 곱사건 (독립)

"$A$ 그리고 $B$" 확률 (독립사건)

두 사건 $A, B$가 서로 영향을 주지 않을 때(독립사건), 두 사건이 모두 일어날 확률은 두 확률의 곱입니다.

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
(단, $A$와 $B$가 서로 독립일 때)

조건: $A$와 $B$가 독립 — 한 사건의 결과가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않음.

예시: 동전 1개를 두 번 던질 때 두 번 모두 앞면일 확률 → 각각 독립 → $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

CRITICAL DISTINCTION

배반 vs 독립 — 헷갈리지 말 것!

Two concepts that students confuse most often.

배반사건과 독립사건의 차이

구분

배반사건 (Mutually Exclusive)

독립사건 (Independent)

정의

동시에 일어날 수 없음
$A \cap B = \varnothing$

서로 영향을 주지 않음
한 사건이 다른 사건에 무관

공식

합사건에 사용
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

곱사건에 사용
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

예

주사위에서 2와 5
(한 번 던질 때 둘이 동시 불가)

동전 던지기 2번 — 첫 번째와 두 번째
(서로 영향 없음)

한 번 시행 / 여러 번?

보통 한 번의 시행 안에서

보통 여러 번의 시행 사이에서

💡 기억 법: "또는" → 합 → 배반 → + · "그리고" → 곱 → 독립 → ×

VISUALIZATION

사건 관계 벤다이어그램

A visual contrast between disjoint and independent events.

EVENT RELATIONS

배반 vs 독립 — 다이어그램으로 보기

MUTUALLY EXCLUSIVE · 배반

두 원이 겹치지 않음

$A \cap B = \varnothing$ — 동시에 일어날 수 없음.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

INDEPENDENT · 독립

두 사건이 서로 무관 (별개 시행)

각 시행이 독립적 — 결과가 서로 무관.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

⚠️ 중요: 배반과 독립은 서로 다른 개념입니다. 한 사건이 두 가지 성격을 동시에 가질 수도, 둘 다 아닐 수도 있습니다.

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on the three formulas.

Q · 01

$P(A) = \dfrac{1}{4}$일 때 여사건 $P(A^c)$의 값은?

풀이: $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

Q · 02

주사위 한 개를 던질 때 $1$ 또는 $6$이 나올 확률은? (배반사건)

풀이: $P(1) + P(6) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ (배반사건, 합).

Q · 03

동전 한 개를 두 번 던질 때 두 번 모두 앞면일 확률은? (독립사건)

풀이: 두 시행이 독립 → $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ (곱).

Q · 04

"$A$ 또는 $B$"(배반사건)의 확률을 구할 때 사용하는 연산은?

풀이: "또는" + 배반 → 더하기. $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Q · 05

"$A$ 그리고 $B$"(독립사건)의 확률을 구할 때 사용하는 연산은?

풀이: "그리고" + 독립 → 곱하기. $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Using the three calculation formulas.

EXAMPLE · 01 · 여사건

주사위 한 개를 던질 때, $2$의 배수가 아닐 확률을 구하라.

핵심: "$\sim$이 아닐" → 여사건 공식 $P(A^c) = 1 - P(A)$.

STEP 1 · 사건 $A$의 확률

$A$ = "$2$의 배수가 나옴" = $\{2, 4, 6\}$. $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

STEP 2 · 여사건 확률

$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.

답: $\dfrac{1}{2}$

EXAMPLE · 02 · 곱사건 (독립)

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 두 주사위 모두 $6$이 나올 확률을 구하라.

핵심: 두 주사위는 서로 독립 → 곱의 법칙.

STEP 1 · 각 주사위 확률

주사위 하나에서 $6$이 나올 확률 $= \dfrac{1}{6}$. 두 주사위는 서로 영향 없음 (독립).

STEP 2 · 곱사건 공식

$P(\text{둘 다 } 6) = P(6) \times P(6) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$.

답: $\dfrac{1}{36}$

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

$P(A) = \dfrac{1}{4}$일 때 여사건 $P(A^c)$의 값은? (분수)

힌트: $1 - \dfrac{1}{4}$.

P · 02★

동전 한 개를 던질 때 뒷면이 나오지 않을 확률은? (분수)

힌트: 여사건 = 앞면 = $1 - \dfrac{1}{2}$.

P · 03★

주사위 한 개를 던질 때 $1$ 또는 $6$이 나올 확률은? (분수)

힌트: 배반사건 → 합. $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}$.

P · 04★★

동전 두 개를 동시에 던질 때 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은? (분수, 여사건 활용)

힌트: 여사건 = "모두 뒷면" = $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. 답 = $1 - \dfrac{1}{4}$.

P · 05★★

$1$부터 $50$까지의 자연수 중 한 수를 뽑을 때 $5$의 배수가 아닐 확률은? (분수)

힌트: $5$의 배수: $\{5, 10, \ldots, 50\}$ — $10$개. $P(\text{5의 배수}) = \dfrac{1}{5}$. 여사건 = $1 - \dfrac{1}{5}$.

P · 06★★

동전 한 개를 두 번 던질 때 두 번 모두 앞면일 확률은? (분수)

힌트: 독립 → 곱. $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}$.

P · 07★★★

서로 다른 두 주사위를 동시에 던질 때 두 눈이 모두 $6$일 확률은? (분수)

힌트: 독립 → 곱. $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}$.

P · 08★★★

$P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{1}{2}$이고 $A, B$가 배반사건일 때 $P(A \cup B)$의 값은? (분수)

힌트: 배반 → 합. $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6}$.

LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

복합 확률 계산의 3가지 공식 — 여사건 ($1-P$) · 합사건 (배반) ($+$) · 곱사건 (독립) ($\times$). "또는/그리고/아닐"이라는 한국어 키워드를 보고 알맞은 공식을 선택. 배반과 독립은 다른 개념임을 꼭 기억!

P(A^c) = 1 − P(A) 배반 → 합 (+) 독립 → 곱 (×) "적어도" → 여사건